Turunan Fungsi

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

A.      Definisi

Untuk  y adalah fungsi dari x atau  y = f(x), turunan fungsi dinotasikan sebagai y' atau f ‘(x) atau dy/dx

Maka turunan fungsi y = f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :

Contoh :

Jika f (x) = x² – 3x, maka turunan fungsi f (x) adalah

B.      Rumus Dasar Turunan

1. ·         Turunan fungsi konstan k. Jika f(x) = k, maka  f ‘(x) = 0
2. ·         Jika f(x) = ax, maka f ‘(x) = a
3. ·         Jika f(x) = axⁿ, maka f ‘(x) = anx^n-1
4. ·         Jika f(x) = u(x) + v(x), maka f ‘(x) = u’(x) + v’(x)
5. ·         Jika f(x) = u(x) . v(x), maka f ‘(x) = u’(x) . v(x) + v’(x) . u(x)

·       6.               Jika f(x) = u(x) 
                    v(x)
                   maka f ‘(x) = u’(x) . v(x) + v’(x) . u(x)

                                                   [v(x)]²

·                 7.        Jika f(x) = [u(x)]ⁿ, maka f ‘(x) = n [u(x)]^n-1.u’(x)

·                 8.   Turunan fungsi komposisi (dalil rantai)

              Jika y = f(g(x)), maka  = dy  = dy .dg

                         dx     dg   dx

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

• Jika f(x) = sin x, maka f’(x) = cos x

         dan jika f(x) = sin u(x), maka f’(x) = u’(x). cos u(x)

• Jika f(x) = cos x, maka f’(x) = -sin x

        dan jika f(x) = cos u(x), maka f’(x) = -u’(x). sin u(x)

•  Jika f(x) = tan x, maka f’(x) = sec²x

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL KURVA

• ·         Gradien garis singgung kurva di titik (x₁,y₁) pada kurva f(x) adalah m = f’(x₁)

          Persamaan garis singgung kurva

          y – y₁ = m (x – x₁)

·         

•     Garis normal kurva adalah suatu garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva di titik yang sama dengan titik singgung kurva.

·                     Gradien garis normal kurva di titik (x₁,y₁) pada kurva f(x)                          

a           adalah m_n = -1/f'(x)  

·                           Persamaan garis normal kurva

        y – y₁ = m_n (x – x₁)

FUNGSI NAIK, FUNGSI TURUN DAN NILAI STASIONER

• ·         Fungsi naik

Suatu fungsi dikatakan naik dalam suatu selang untuk x₁ < x₂ maka f(x₁) < f(x₂)

kurva naik jika f’(x) > 0

• ·         Fungsi turun

Suatu fungsi dikatakan turun dalam suatu selang untuk x₁ < x₂ maka f(x₁) > f(x₂)

kurva naik jika f’(x) < 0

• ·         Nilai dan titik stasioner

Jika fungsi f(x) mempunyai turunan pada x = a dan f’(a) = 0, maka f(a) merupakan nilai stasioner fungsi f(x)

Jika f’(a) = 0, maka titik stasioner fungsi adalah (a, f(a))

·        Jenis nilai stasioner dimana f”(x) adalah turunan kedua fungsi f(x)

Jika f”(a) < 0, maka f(a) berjenis maksimum

Jika f”(a) > 0, maka f(a) berjenis minimum

Jika f”(a) =  0, maka (a, f(a)) adalah titik belok

  

                                                                           

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

    1. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 4x³ - 3x² + 8x -5 adalah….

          Pembahasan:

        f’(x)  = 4.3.x^3-1 – 3.2.x^2-1+ 8.1 x^1-1 -5.0.x^0-1

               = 12x² – 6x¹ + 8x⁰ – 0

               = 12x² – 6x + 8

     2.  Turunan pertama dari fungsi y = (3x²+2) (2x -5) adalah…

         Pembahasan:

       misal u(x) = 3x² +2,  u’(x) = 6x

       v(x) = 2x -5,    v’(x) = 2

       maka y’ = u’(x) . v(x) + v’(x) . u(x)

                  = 6x (2x – 5) + 2 (3x²+2)

                  = 12x² – 30 x + 6 x²+ 4

                  = 18x² – 30x + 4   

                                         

     3. Turunan pertama dari  dari y = (5x² +3 x)³adalah…

           Pembahasan:

         misal u(x) = (5x² +3x),  u’(x) = 10x + 3

            y = [u(x)]ⁿ, 

            maka y' = n [u(x)]^n-1.u’(x)

    =  3(5x² +3x)²(10x + 3)

    =  (30x + 9)(5x² +3x)²

1.                  4.  Turunan pertama dari fungsi y = ∛(6x+5) adalah…

         Pembahasan:

 y = (6x + 5)^1/3, u(x) = 6x = 5, u’(x) = 6

 y’ = 1/3 (6x + 5)^-2/3(6)

    = 2(6x + 5)^-2/3

     ^{=     2}       

       ∛(6x+5)²

5. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x + 2 adalah…

                                                    x - 1

                    Pembahasan:

            u(x) = 3x+2, u’(x) = 3

            v(x) = x-1,    v’(x) = 1

     maka f ‘(x) = u’(x) . v(x) - v’(x) . u(x)

                                                     [v(x)]²

                                = 3(x-1) - 1(3x+2) 

                                           (x-1)²

                                =    -5    

                                     (x-1)²

             6.  Persamaan garis singgung para bola y = x²+ 4x -5 

                 pada titik (-1,2) adalah…

                Pembahasan:

             y’ = 2x + 4

             m = 2(-1) + 4 = 2

             persamaan garis singgung

             y – 2 = 2 (x –(-1))

             y – 2 = 2x + 2

             y = 2x + 4

2.                    7.   Persamaan garis normal kurva y = x³-4x²+ 5x-2 

                 pada titik (2,-5) adalah…

                Pembahasan:

             y’ = 3x²- 8x + 5 = 3(2)²– 8(2) + 5 = 1

             m_n = -1/y’ = -1/1 = -1

             persamaan garis normal

             y – (-5) = -1(x-2)

             y + 5 = -x + 2

             y = -x -7

3.                          8.   Fungsi f(x) = x² – 9x naik pada interval…

                Pembahasan:

             fungsi naik jika f’(x) > 0 , 

             maka 2x – 9 > 0

             jadi fungsi naik pada x > 4,5

4.                     9.   Tentukan nilai stasioner dari fungsi f(x) = 2x³ – 15x² +36x – 10 !

                 Pembahasan :

              titik stasioner dicapai jika f’(x) = 0

              6x² -30x + 36 = 0

              6 (x -2) (x-3) = 0

              x₁ = 2, x₂ = 3

              Nilai stasioner didapat

              f(2) = 18 dan

              f(3) = 17

          10. Tentukan turunan pertama dari y = sin³(2x+3)

               Pembahasan :

               y' = 3sin²(2x+3).cos(2x+3) (2)

                  = 6sin²(2x+3).cos(2x+3)